机器学习面试题精选连载（机器学习面试题精选连载）

本期继续连载数学基础的最后一部分：概率论，包括基础概念、似然、最大似然估计、概率分布衡量等。至此数学基础知识就介绍完啦，下次开始介绍具体的模型算法。

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概率论基础概念

• 排列：，组合：

• 联合概率分布：多个变量的概率分布称为联合概率分布，表示和同时发生的概率。

• 边缘概率：有时我们知道了一组变量的联合概率分布，还需要知道其中一个子集的概率分布，这种定义在子集上的概率分布称为边缘概率分布。对于离散型随机变量，根据下面的求和法来计算：

• 条件概率：在给定和​发生的条件概率为：

• 全概率公式：若事件​构成一个完备事件组且都有正概率，则对于任一个事件​x都有如下全概率公式：

• 贝叶斯公式：贝叶斯公式是关于随机事件x和y的条件概率和边缘概率边缘概率的：

​是后验概率，​是条件概率或似然

• 期望：对于N个离散随机变量X，其概率分布为​，X的期望定义为：

对于连续型随机变量X，概率密度函数为​，则期望为：

期望的性质：

• 方差：随机变量X的方差用来定义它的概率分布的离散程度，定义为：

方差的性质：

概率和似然的区别与联系

• 概率表达的是给定下样本随机向量的可能性，而似然表达了给定样本下参数为真实值的可能性。

• 似然函数的形式是，其中"|"代表的是条件概率或者条件分布，因此似然函数是在"已知"样本随机变量的情况下，估计参数空间中的参数的值，因此似然函数是关于参数的函数，即给定样本随机变量后，估计能够使的取值成为的参数的可能性；而概率密度函数的定义形式是，即概率密度函数是在“已知”的情况下，去估计样本随机变量出现的可能性。

• 似然函数可以看做是同一个函数形式下的不同视角。以函数​为例，该函数包含了两个变量，​和​，如果​已知为2，那么函数就是变量​的二次函数，即​ ；如果​已知为2,那么该函数就是变量b的幂函数，即​。同理，​和​也是两个不同的变量，如果​的分布是由已知的​刻画的，要求估计​的实际取值，那么​就是​的概率密度函数；如果已知随机变量​的取值，而要估计使​取到已知​的参数分布，就是似然函数的目的。

最大似然估计和最大后验概率的区别

• 对于函数​有两种情况：

• ​保持不变，​为变量，此时函数为概率函数，表示的是​出现的概率；
• ​是变量，​是变量，此时为似然函数，表示不同​下​出现的概率

• 最大似然估计尝试求解使得出现概率最高的。对于m次实验，由于每次都是独立的，我们可以将中每一次实验结果的似然函数全部乘起来，那么，使得该式取得最大值的，即为的最大似然估计：

• 最大似然估计方法尝试求解来最大化似然函数，显然计算出来的参数完全取决于实验结果。最大后验概率能够很大程度解决这个问题。该方法尝试最大化后验概率：

是已知的，只需最大化分子部分。和最大化似然的唯一区别是增加了先验概率

KL散度、JS散度、Wasserstein距离

• KL散度（不对称），也叫相对熵，衡量分布之间的差异性。KL散度并不是一个真正的距离，KL散度不满足对称性（即）和三角不等式（即不满足）

将KL散度展开可得，其中为熵，为交叉熵。KL散度实际上衡量的是两者之间的信息损失

• KL散度的缺点：

• 无界
• 不对称
• 若两个分布无重叠部分可能得到的结果无意义

关于分布不重合时的情况举例，对于如下的分布，P1在AB上均匀分布，P2在CD上均匀分布，控制着两个分布的距离远近。可得：

• JS散度：解决了KL散度非对称的问题。KL散度和JS散度都有一个问题，即当两个分布和离得很远没有重叠时，KL散度是无意义的，JS散度是个常数。

• Wasserstein距离：

​是​分布组合起来的所有可能的联合分布的集合。对于每一个可能的联合分布​，可以从中采样​得到一个样本​x和y​，并计算出这对样本的聚类​，所以可以计算该联合分布​下，样本对距离的期望值​。在所有可能的联合分布中能够取到这个期望值的下界的就是wasserstein距离。直观上可以理解为在​这个路径规划下把土堆​挪到土堆​所需要的消耗。而Wasserstein距离就是在最优路径规划下的最小消耗，也叫做Earth-mover距离。

机器学习面试题精选连载（1）——模型基础

机器学习面试题精选连载（2）——微积分与线性代数

机器学习面试题精选连载（3）——线性代数

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