关于圆的判断题带答案（请尊重圆的基本概念）

请尊重圆的基本概念（2020年天津第25题）

很多时候，关于圆的基本概念，我们的印象中便会出现定义、基本性质等，在课堂教学中，对于它们的挖掘并不会很深，因为无论例题或习题，在难度上控制得非常好，然而并不意味着它们很简单（好像也不难哦！），在压轴题的解题过程中，很多描述和圆的概念吻合，但如果思维到不了这条路上，卡顿在所在免，所以对于圆的基本概念，要以尊重的态度去对待，简单点讲，要深入理解。

题目

已知点A(1,0)是抛物线y=ax² bx m(a,b,m为常数，a≠0，m<0)与x轴的一个交点.

(I)当a=1，m=-3时，求该抛物线的顶点坐标；

(II)若抛物线与x轴的另一个交点为M(m,0)，与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF=2√2.

①当点E落在抛物线上(不与点C重合)，且AE=EF时，求点F的坐标；

②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是√2/2？

解析：

(I)这是一道无图二次函数压轴题，当然针对第一小题还是比较容易的，将点A坐标代入得a b m=0，然后便可求出b=2，于是解析式为y=x² 2x-3=(x 1)²-4，顶点坐标为(-1,-4)；

(II)请注意参数m，另一个交点M(m,0)，而抛物线与y轴交点C(0,m)，我们可将原抛物线用交点式写一遍，y=a(x-1)(x-m)=ax²-a(m 1)x am，与y=ax² bx m比较便可发现，常数项am=m，于是a=1，一次项系数-a(m 1)=b，可解出b=-m-1，所以抛物线解析式可写成y=x²-(m 1)x m以上便是解题前的准备工作，下面分别解决两个小问题：

①当点E落在抛物线上，直线l的解析式是y=m，我们联立得方程x²-(m 1)x m=m，解得x=m 1或0，由于不能与C点重合，所以x=m 1，即E(m 1,m)；

现在可以表示AE了，用两点间距离公式AE=√(2m²)，此时请注意小坑，由于m<0，千万不要直接把结果符号弄错，应该是-√2m，由AE=EF=2√2，解得m=-2，得E(-1,-2)，C(0,-2)；

如何确定点F呢？我们根据条件EF=2√2可知，以点E为圆心，2√2为半径作弧，与y轴的交点就是点F，如下图：

图中CE=1，EF=2√2，可求出CF=√7，所以点F有两种结果，(0,-2 √7)和(0,-2-√7)；

②这个小问的作图是困难的，因为参数m，但又是容易的，因为只有参数m未定，所以分类讨论是必须的。我们知道EF=2√2是定值，且点C与E，F能围成一个直角三角形，且EF是斜边，此时再来看条件中对点N的描述，便容易联想到直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CN=√2.

点M(m,0)，点C(0,m)，CN为定值，要想知道MN的值何时最小，我们还需要了解点N的位置，在以点C为圆心，半径为√2的圆上，当这个圆与点M的位置关系如下图时：

当点M在圆C外时，连接MC，当点N恰好落在MC上时，MN的值最小，再次回顾前面的坐标信息，△COM是等腰直角三角形，MC=-√2m，CN=√2，则MN=-√2m-√2=√2/2，解得m=-3/2；

而当点M在圆C内时，如下图：

只需要连接CM并延长交圆C于N点，计算与前一种情况类似，MN=√2-(-√2m)=√2/2，解得m=-1/2；

解题反思

无图含参抛物线，历来都是“纸老虎”，参数通常是相互关联的，即利用“消元”思想达到消参目的，本题便只剩下一个参数m，像a啊！b啊！都是假的。

如果在后面两小问中，深刻理解了圆的概念，那么对于点和圆的位置关系这一课内容，才算是功德圆满。记得在讲这一课时，许多学生都显得不屑一顾，这有何难？不就是连接圆心和某点，比较线段长短么？现在以这道题为例，只能说这样理解实在是too naive了，这是后话。

学习数学里的概念，并不能仅仅在某个章节习题或单元测试中使用它，而是遇到类似的问题或情景，都要能想到它们，即用数学的思维去理解世界，用数学语言描述世界，只有形成数学思维习惯，用得勤，对概念的理解才能足够深入，用一个成语叫熟能生巧。

雪浪纸

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