你知道它为什么圆滚滚的吗 但是能够说出它由来的

简洁而优美，这就是数学的魅力所在

大家吼啊，这里依旧是十八线科普网红超模君。今天来给大家讲讲一个让人又爱又怕的名词——“极限”的故事。

说起极限啊，恐怕学过高数的人都是“满纸荒唐言，一把辛酸泪”了：你说没有它吧，高等数学后面的内容别想看懂；你说弄懂它吧，却不知道这简简单单的两个字，耗费了人类接近两千年的心血。

要问“极限”的概念从什么时候开始有，恐怕要从一根“尺棰”说起。（别看错，是“棰”，不是“锤”）

所谓的“尺棰”，就是一尺长的木杖。《庄子·天下篇》里面记载着惠施（就是经常和庄子爷爷抬杠的那位）的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

当然，“极限”的萌芽可不仅仅只是东方有，古希腊也有关于“极限”的萌芽的故事。古希腊智人学派的安蒂丰（约公元前480—公元前410），在讨论“化圆为方”的问题时，想到用不断增加边数的正多边形来接近圆的面积——因为边数越多，正多边形与圆的相差面积就越小。

这与后来中国数学家刘徽的“割圆术”基本相同，只不过刘徽的描述更详细明了——通过构造边数不断翻倍的正多边形（刘徽是从正六边形开始的），计算其面积，从而接近其外接圆的面积。

刘徽在阐述他的思想时说道：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆和体，而无所失矣。”

可以看到，“极限”在最开始出现的时候，是基于具体的形象（木杖、圆）产生的，并且奠定了“无限接近”的特性。

时间来到中世纪，这时“极限”褪去了直观的外衣，开始蒙上了一层神秘的面纱。

为“极限”蒙上神秘面纱的是两个人——牛顿和莱布尼茨。（虽然这两个人本意是想弄清楚“极限”的定义，但是没想到越弄越混……）

先说说牛顿。

听说有人要讲我，赶紧摆好高人的姿势……

对于如何定义“极限”，牛顿是从他老人家最擅长的领域——物理入手的。

他老人家说：“你看啊，这个物体，它用一定的时间，从一个地方挪到另一个地方，如果我想知道它挪得有多快，只需要用挪过的距离除以时间就可以了（∆s/∆t）。

“但是啊，这个物体并不是每一刻都挪动得一样快的啊，它可以在上一刻很快，下一刻很慢，如果我想知道其中一刻物体到底有多快，那该怎么办？

“要想知道这个，其实也不难。如果我将挪动的时间无限缩短（∆t无限趋近于0），那么这段时间内挪动的距离也会相应地无限缩短，当缩短到某一个程度时，计算出来的速度就可以看做是这个时刻的瞬时速度。

“而这个通过将挪动时间无限缩短所计算出来的瞬时速度，就是所谓的极限。”

当时的数学家一听，都觉得“诶是这么个道理”。但是很快就有人提出质疑：

按照您老人家的说法，运动是连续的，也就是说客观存在一个“瞬时速度”。可是您给出的定义，所谓的瞬时速度是挪动时间无限趋近于0时产生的位移，那么这里挪动时间是否等于0？

如果不等于，那么此瞬时速度非彼“瞬时速度”，我们就永远不可能知道客观存在的“瞬时速度”；如果等于，那么等式又不符合基本数学运算规则。

这咋整啊？

此时莱布尼茨也遇到了同样的问题。

虽然不同于牛顿从物理入手来定义“极限”（莱布尼茨用的方法比较复杂，建议有兴趣的模友可以自行去了解），但是莱布尼茨和牛顿一样，在计算或推理过程中，有时会舍弃“无穷小”的概念。这让人们再次质问：到底无穷小和0存在什么区别？他们在推理过程中作用是否一样？

面对这个问题，莱布尼茨给出的答案也是“含糊其辞”：考虑到这样一种无穷小是有用的，当寻找它们的比时，不把他们当做零，但是只要他们和无法相比的大量一起出现，就把他们舍弃。

又是一个看起来有点道理，但又说不清楚的回答……

牛顿和莱布尼茨遇到的难题，使得分析数学一度陷入被轻视的状态。18世纪的英国哲学家伯克莱甚至很不客气地说：牛顿时隐时现的无穷小是一个“消失的幽灵”，而牛顿本人，则是“睁着眼睛说瞎话”。

在这里，“极限”的概念正式转入数学，但是人们对它的定义与理解，依然需要直观的过程（如牛顿的运动过程），描述也只是停留于语言，因而导致了“极限”处于越来越神秘、似是而非的状态。

直到19世纪，终于有人率先把“极限”从幽灵状态中拽了出来。

这个人，就是柯西。

柯西：没想到我还跟幽灵打过交道吧？

1821年，柯西在他编写的《教程》里面写道：“当一个变量逐次所取的值无限趋近于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小有多小，这个定值叫做所有其它值的极限。”

这个定义，让“极限”的概念转向了算术领域，摆脱了原本依附于几何或物理的说明，它不再是未被分割的木杖，不再是肉眼不可见的缝隙、不再是时隐时现的“幽灵”。

柯西还提出了著名的“收敛理论”：

当一个变量的数值这样（指变量与定值之差要多小有多小）地无限减小，使之收敛到极限零,那么这个变量就叫做无穷小；当变量的数值这样地无限的增大，使该变量收敛到极限∞，那么该变量就称为无穷大。

这个理论完美地解决了牛顿和莱布尼茨有关“无穷小”的理论难以自圆其说的问题，让这个“极限”的概念从模糊走向了明晰。

1851年到1854年，维尔斯特拉斯终于用严格的算术定义，为“极限”这个飘荡许久的概念添上最后一笔：

如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于适合不等式0<|x-x0|<δ的一切x，所对应的函数值f(x)都满足|f(x)-A|<ε，则常数A就叫做y=f(x)当x→x0时的极限。

也就是现在我们在高数课本上见到的“极限”的定义。能够看到，“极限”的最终定义，是明晰的、严谨的。它不需要借助实际的事物或者直观的图形来理解，而仅仅用几个已知的概念，通过逻辑推理，就可以完全理解，简洁而优美。

如果我们放眼整个人类获得思维的过程，我们就会惊奇地发现，人类竟然从浩如烟海的具体事物当中，总结、归纳，用一个个不甚复杂的概念，构建出一个可以认识、思考眼前世界的思维。

这或许真的只有人类能做到，也是人类一步步走到万物中心的重要原因。

本文由超级数学建模整理编辑

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