抛物线最值压轴题解题技巧中考（一道中考数学压轴题）

这是2021年浙江湖州中考数学的压轴题，是一道与抛物线有关的题目，需要用到待定系数法、韦达定理、顶点公式、直线的斜率公式以及两直线垂直的斜率关系。

如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点的坐标分别为(-4,0),(4,0),C(m,0)是线段AB上一点(与A,B点不重合), 抛物线L1:y=ax^2 b1x c1(a<0)经过点A, C，顶点为D，抛物线L2：y=ax^2 b2x c2(a<0)经过点C，B，顶点为E，AD，BE的延长线相交于点F.

(1)假设a=-1/2, m=-1, 求抛物线L1，L2的解析式；

(2)假设a=-1,AF⊥BF,求m的值；

(3)是否存在这样的实数a(a<0)，无论m取何值，直线AF与BF都不可能互相垂直？假设存在，请直接写出a的两个不同的值；假设不存在，请说明理由.

第(1)小题明显要运用待定系数法，一般情况下要列两个方程组，每条抛物线列一个方程组，不过老黄这里直接把它列成一个方程组：

解：(1)列方程组：{16X(-1/2)-4b1 c1=0, -1/2-b1 c1=0, 16X(-1/2) 4b2 c2=0, -1/2-b2 c2=0}；

解得：{b1=-2.5,c1=2,b2=1.5,c2=2}

∴L1：y=-x^2-2.5x-2；L2：y=-x^2 1.5x 2.

第(2)小题的知识点应用得最多。先是韦达定理的应用求b1,c1,b2,c2关于m的表达式，在初中阶段称为“一元二次方程的根与系数的关系”。然后运用抛物线的顶点公式求D，E的坐标。接下来运用直线的斜率公式，求直线AF和BF的斜率。最后应用两条直线垂直，它们的斜率的积等于-1的知识列方程，求m的值。

(2)根据韦达定理：b1=m-4, c1=4m, b2=m 4, c2=-4m,

D((m-4)/2,((m-4)^2 16m)/4), E((m 4)/2,((m 4)^2 16m)/4),

AF的斜率k1=(((m-4)^2 16m)/4)/((m-4)/2 4)=(m 4)/2, BF的斜率k2=(((m 4)^2-16m)/4)/((m 4)/2 4)=(m-4)/2.

当AF⊥BF时, k1k2=((m 4)/2)((m-4)/2)=-1, 解得：m=±2根号3.

当然，第(2)小题也可以过点D，E，分别作x轴的垂线，用相似三角形的知识来求解。不过还是那句话：中考考场上，能想到什么方法就用什么方法。平时多备几样武器总是好的。

第(2)小题用的是什么方法，第(3)小题最好就延续性地使用同一方法，因为这两道小题的内在联系是非常紧密的。

(3)存在，例如: a=-1/4或a=-1/3.

接下来分析的部分，按题意，是不需要写进解题过程中的。

根据韦达定理：b1=-a(m-4), c1=4am, b2=-a(m 4), c2=-4am,

D((m-4)/2,(a(m-4)^2 16am)/4), E((m 4)/2,(a(m 4)^2 16am)/4),

AF的斜率k1=((a(m-4)^2 16am)/4)/((m-4)/2 4)=a(m 4)/2, BF的斜率k2=((a(m 4)^2-16am)/4)/((m 4)/2 4)=a(m-4)/2.

当AF⊥BF时, k1k2=(a(m 4)/2)(a(m-4)/2)=-1, 即m^2=16-4/a^2,

当16-4/a^2<0, 即-1/2<a<1/2时，m无解，又a<0，所以-1/2<a<0.

也就是说，只要所取a值在(-1/2,0)上，就可以了，因此这个问题的答案不是唯一的。当然，你也可以直接把a=-1/4,a=-1/3或a=-1/5代入抛物线的解析式，运用检验结果是否正确.

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