不等式和不等式组100题（第五不等式组及不等式的应用）

第五不等式(组)及不等式的应用

命题点1不等式的性质

命题点2一元一次不等式(组)的解法

类型一不等式(组)的解法及解集表示

类型二不等式(组)的特殊解

命题点3含参不等式(组)问题

命题点4不等式的实际应用

命题点5方程与不等式结合的实际应用

考点一、不等式的相关概念

1．不等式

用不等号连接起来的式子叫做不等式．

常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”．

2．不等式的解与解集

不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．

不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集．

不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左.

3．解不等式

求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式.

【微点拨】

不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值．

考点二、不等式的性质

性质1：

不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c．

性质2：

不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或

＞

）．

性质3：

不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或

＜

）．

【微点拨】

（1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，则a=b；④若a2≤0，则a=0；⑤若ab＞0或

，则a、b同号；⑥若ab＜0或

，则a、b异号.

（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O

a＞b；②a-b=O

a=b；③a-b＜O

a＜b．

不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c.

考点三、一元一次不等式（组）

1．一元一次不等式的概念

只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax b＞0(a≠0)或ax b≥0(a≠0) ，ax b＜0(a≠0)或ax b≤0(a≠0)．

2．一元一次不等式的解法

一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号要改变方向．

解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1．

【微点拨】

解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方．

3．一元一次不等式组及其解集

含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组．

一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集．

一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定．

【微点拨】

判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多．

4．一元一次不等式组的解法

由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．

不等式组 （其中a＞b）	图示	解集	口诀
			（同大取大）
			（同小取小）
			（大小取中间）
		无解 （空集）	（大大、小小 找不到）

注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示.

【微点拨】

解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集．

5．一元一次不等式（组）的应用

列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要．

【微点拨】列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）的解集中求出符合题意的答案．

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